Mathematica 中的常用函数

如果你是第一次使用Mathematica，那么以下几点请你一定牢牢记住：

1. Mathematica 区分大小写，如 Name、name是不同的变量名或函数名。

2. 系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出，内部函数一般写全称，
 且以大写英文字母开头，如 Sin[x],Conjugate[z]等;
 有时一个函数名是由几个单词构成，则每个单词的首写字母也必须大写，
 如：求局部极小值函数 FindMinimum[f[x],{x,x0]等

3. 乘法即可以用“*”，也可以用空格表示，如 2 3＝2*3＝6 等；
 乘幂可以用“^”表示，如 x^0.5, Tan[x]^y 等

4. 自定义的变量可以取几乎任意的名称，但为了不与系统函数产生混淆，
 我们自定义的变量应该是以小写字母开始，后跟数字和字母的组合，
 长度不限，不可以数字开头。

5. 给变量赋值后，除非明显地改变该值或使用Clear[变量名]或“变量名=.”取消该值，
 否则它将始终保持原值不变。

6. 一定要注意四种括号的用法：
 () 圆括号表示项的结合顺序，如(x+(y^x+1/(2x)));
 [] 方括号表示函数，如Log[x],BesselJ[x,1]；
 {} 大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合)，
    如 {2x,Sin[2 Pi],{1+A,y*x}}；
 [[]] 双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如a[[2,3]]、{1,2,3}[[1]]=1。

7. Mathematica的语句书写十分方便:
 一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）。
 当语句以分号结束时，不做输出（输出语句除外），否则将输出计算结果。

常用函数

1.运算符及特殊符号

Linel   执行Line，不显示结果

Linel,line2  顺次执行Line1，Line2，并显示结果

?name  关于系统变量name的信息

??name  关于系统变量name的全部信息

!command  执行Dos命令

N!  N的阶乘

!!filename  显示文件内容

<>filename  打开文件写

Expr>>>filename  打开文件从文件末写

()  结合率

[]  函数

{}  一个表

<*MathFun*>  在c语言中使用math的函数

(*Note*)  程序的注释

#n  第n个参数

##  所有参数

Rule&  把role作用于后面的式子

%  前一次的输出

%%  倒数第二次的输出

%%%(k)  倒数第k次的计算结果

%n  例出行Out[n])的结果（用时要小心）

Var::mote  变量var的注释

"Astring"  字符串

Context  上下文

A+b, a-b, A*b或a b, A/b 加减乘除

2.系统常量

Pi  3.1415的无限精度数值

E   2.17828的无限精度数值

Catalan  0.915966 Catalan常数

EulerGamma  0.5772 Euler常数

Khinchin  2.68545 Khinchin

Glaisher  0.915966 Glaisher

GoldenRatio  1.61803黄金分割数

Degree  Pi/l80角度弧度换算

I  复数单位

Infinity  无穷大

-Infinity  负无穷大

Complexlnfinity  复无穷大

Indeterminate  不定式

3.代数计算

Expand[expr] 展开表达式

Factor[expr] 对表达式进行因式分解

Simplify[expr] 化简表达式

FullSimplify[expr] 将特殊函数也进行化简

PowerExpand[expr] 展开所有的幂次形式

ComplexExpand[expr,{x1,x2,...)] 按复数实部虚部展开

FunctionExpand[expr]  化简表达式中的特殊函数

Collect[expr,x]  合并同次项

Collect[expr,{x1,x2,...)] 合并x1，x2,...的同次项

Together[expr]  通分

Apart[expr]  部分分式展开

Apart[expr,var)  对var的部分分式展开

Cancel[expr]  约分

xpandAll[expr]  展开表达式

ExpandAll[expr,patt]  展开表达式

FactorTermsrpoly]  提出共有的数字因子

FactorTerms[poly,x]  提出与x无关的数字因子

FactorTerms[poly,(x1,x2,...)]  提出与xi无关的数字因子

Coefficient[expr,form]  多项式expr中form的系数

Coefficient[expr,form,n)  多项式expr中form^n的系数

Exponent[expr,form]  表达式expr中form的最高指数

Numerator[expr]  表达式expr的分子

Denominator[expr]  表达式expr的分母

ExpandNumerator[expr]  展开expr的分子部分

4. 解方程

Solve[eqns,vats] 从方程组eqns中解出Vats

Solve[eqns,vats,elims] 从方程组eqns中削去变量elims，解出vats

DSolve[eqn,y,x] 解微分方程，其中、y是x的函数

DSolve[{eqnl,eqn2,...},{y1，y2,...}] 解微分方程组，其中yi是x的函数

DSolve[eqn,y,{x1,x2,...}] 解偏微分方程

Eliminate[eqns,Vats] 把方程组eqns中变量vars约去

SolveAlways[eqns,vars] 给出等式成立的所有参数满足的条件

Reduce[eqns,Vats] 化简并给出所有可能解的条件

LogicalExpand[expr] 用&&和，将逻辑表达式展开

InverseFunction[f] 求函数f的反函数

Root[f,k] 求多项式函数的第k个根

Roots[1hs==rhs,var] 得到多项式方程的所有根

5. 微积分

D[f,x]  求f[x]的微分

D[f,{x,n}]  求f[x]的n阶微分

D[f,x1,x2,...]  求f[x]x1,x2,...偏微分

Dt[f,x]  求f[x]的全微分df/dx

Dt(f)  求f[x]的全微分df

Dt[f,{x,n}]  n阶全微分df^n/dx^n

Dt[f,x1,x2..]  对x1,x2..的偏微分

Integrate[f,x]  f[x]对x在的不定积分

Integrate[f,{x,xmin,xmax}]  f[x]对x在区间(xmin,xmax)的定积分

Integrate[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]  f[x,y]的二重积分

Limit[expr,x->x0]  x趋近于x0时expr的极限

Residue[expr,{x,x0}]  expr在x0处的留数

Series[f,{x,x0,n)]  给出f[x]在x0处的幂级数展开

Series[f,{x,xO,nx},{y,y0,ny}]  先对y幂级数展开，再对x幂级数展开

Normal[expr]  化简并给出最常见的表达式

SeriesCoefficient[series,n]  给出级数中第n次项的系数

SeriesCoefficient[series,{n1,n2,...}]  一阶导数

InverseSeries[s,x]  给出逆函数的级数

ComposeSeries[seriel,serie2,...]  给出两个基数的组合

SeriesData[x,x0,{a0,a1,..},nmin,nmax,den]  表示一个x0处x的幂级数

O[x]^n  n阶小量x^n

6. 多项式函数

Variables[poly] 给出多项式poly中独立变量的列表

CoefficientList[poly,var] 给出多项式poly中变量var的系数

CoefficientList[poly,{varl,var2,...)) 给出多项式poly中变量var(i)的系数列

PolynomialMod[poly,m] poly中各系数mod m同余后得到的多项式，m可为整式

PolynomialQuotient[p,q,x] 以x为自变量的两个多项式之商式p/q

PolynomialRemainder[p,q,x] 以x为自变量的两个多项式之余式

Po1ynomialGCD[polyl,poly2,...] poly(i)的最大公因式

PolynomialLCM[polyl,poly2．．．．] poly(i)的最小公倍式

PolynomialReduce[poly,{polyl,Poly2,...},{xl,x2,...}]
得到一个表 I(a1,a2,...),b) 其中 Sum[ai*polyi]+b=poly 

Resultant[polyl,poly2,var] 约去polyl,poly2中的var

Factor[poly] 因式分解(在整式范围内)

FactorTerms[poly] 提出poly中的数字公因子

FactorTerms[poly,{x1,x2,...)] 提出poly中与xi无关项的数字公因子

FactorList[poly]，
FactorSquareFreeList[p01y]，
FactorTermsList[poly,{x1,x2,...}]   给出各个因式列表 

Cyclotomic[n,x] n阶柱函数

Decomposet[poly,x] 迭代分解，给出{p1,p2,...)，其中P1(p2(...))=poly

InterpolafinSPolynomial[data,Var] 在数据data上的插值多项式

RootSum[f,form] 得到f[x]=0的所有根，并求得Sum[form[xi]]

7. 随机函数

Random[type,range]  产生type类型且在range范围内的均匀分布随机数

Random[]  0-1上的随机实数

SeedRandom[n]  以n为seed产生伪随机数

Randomldistribution]  可以产生各种分布

8. 数值函数

N[expr]  表达式的机器精度近似值
N[expr,n]  表达式的n位近似值，n为任意正整数 

NSolve[lhs==rhs,val]  求方程数值解
NSolvel[eqn,Var,n]  求方程数值解，结果精度到n位 

NDSolve[eqns,y,{x,xmirl,xmax}]  微分方程数值解
NDSolve[eqns,{y1,y2,...},{x,xmin,xmax}]  微分方程组数值解 

FindRoot[1hs==rhs,{x,x0)1  以x0为初值，寻找方程数值解
FindRoot[1hs=--rhs,{x,xstart,xmin,xmax}]
以xstart为初值，在[xmin,xmax]范围内寻找方程数值解 

NSum[f,{imin,imax,di}]  数值求和，出为步长
NSum[f,{imin,imax,di},{j,..},..]  多维函数求和 

NProduct[f,{i,imin,imax,di}]  函数求积

NIntegrate[f,{x,xmin,xmax}]  函数数值积分

FindMinimum[f,{x,xO}]  以x0为初值，寻找函数最小值
FindMinimum[f,{x,xstart,xmin,xmax}]
以xstart为初值，在[xmin,xmax]范围内寻找方程解 

ConstrainedMin[f,{inequ},{x,y,...}]  inequ 为线性不等式组，
f 为x,y,...之线性函数，得到最小值及此时的x,y,...取值 

ConstrainedMax[f,{inequ),{x,y,...}]  得到最大值及此时的x,y,...取值

LinearProgramming[C,m,b]
解线性组合c.x在m．x>=b&&x>=0约束下的最小值，x,b,c为向量，m为矩阵 

LatticeReduce[{v1,v2...}]  向量组Vi的极小无关组 

Fit[data,funs,vats]  用指定函数组对数据进行最小二乘拟合

Interpolation[data]  对数据进行插值

Lisfinterpolation[array]  对离散数据插值，array可为n维

ListInterpolafion[array,{{xmin,xmax},{min,ymax},..}]
在特定网格上进行插值 

FunctionInterpolation[expr,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},..]
以对应expr[xi,yi]的数值为数据进行插值 

Fourier[list]  对复数数据进行傅氏变换

InverseFourier[list]  对复数数据进行傅氏逆变换

9. 表的操作

制表函数

{e1,e2,...} 一个表，元素可以为任意表达式，无穷嵌套

Table[expr,{imax}]  生成一个表，共imax个元素

Table[expr,{i,imax}}  生成一个表，共imax个元素expr间

Table(expr,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},..]  多维表

Range[imax]  简单数表{1,2,..., imax}

Range[imin,imax,di]  以di为步长的数表

Array[f,n]  一维表，元素为fI¨(i从1到n)

Array[f,{n1,n2..}]  多维表，元素为玎i小．1 (各自从1到ni)

IdentityMatrix[n]  n 阶单位阵

DiagonalMatrix[list]  对角阵


元素操作

Part[expr,i]或expr[[i]]  第i个元素

expr[[-i]]  倒数第i个元素

expr[{i,j,..}]  多维表的元素

expr[{i1,i2,..}]  返回由第i(n)的元素组成的子表

First[expr]  第一个元素

Last[expr]  最后一个元素

Head[expr]  函数头，等于expr[[0]]

Extract[expr,list]  取出由表list指定位置上expr的元素值

Take[list,n]  取出表list前n个元素组成的表

Take[list,{m,n}]  取出表list从m到n的元素组成的表

Drop[list,n]  去掉表list前n个元素组下的表

Rest[expr]  去掉表list第一个元素剩下的表

Select[USt,crit]  把crit作用到每一个list的元素上，为True的所有元素组成的表

Length[expr]  expr第一层元素的个数

Dimensions[expr]  表的维数返回{n1,n2..},expr为一个nl*n2...的阵

TensorRank[expr]  秩

Depth[expr]  expr最大深度

Level[expr,n]  给出expr中第n层子表达式的列表

Count[USt,paUem]  满足模式的list中元素的个数

MembefQ[1ist,form]  list中是否有匹配form的元素

FreeQ[expr,form]  MemberQ的反函数

FreeQ[expr,form]  表中匹配模式pattern的元素的位置列表

Cases[{e1,e2,...},pattem]  匹配模式pattem的所有元素ei的表


表的操作

Append[exp,elem] 返回在表expr的最后追加elem元素后的表

Prepend[expr,elem] 返回在表expr的最前添加elem元素后的表

Insert[1ist,elem,n] 在第n元素前插入elem

lnsert[expr,elem,{i,j,...}] 在元素expr[[{i,j,..}]]前插入elem

Delete[expr,{i,j,..}] 删除元素expr[[{i,j,..}]]后剩下的表

DeleteCases[expr,pattem] 删除匹配pattern的所有元素后剩下的表

ReplacePart[expr,new,n] 将expr的第n元素替换为new

Sort[list] 返回list按顺序排列的表

Reverse[expr] 把表expr倒过来

RotateLeft[expr,n] 把表expr循环左移n次

RotateRight[expr,n] 把表expr循环右移n次

Partition[list,n] 把list按每n个元素为一个子表分割后再组成的大表

Flatten[list] 抹平所有子表后得到的一维大表

Flatten[1ist,n] 抹平到第n层

Split[1ist] 把相同的元素组成一个子表，再合成的大表

10. 绘图函数

二维绘图

Plot[f,{x,xmin,xmax}]  一维函数f[x]在区间[xmin,xmax]上的函数曲线

Plot[{fl,f2..},{x,xmin,xmax}]  在同一图形上画几条曲线

ListPlot[{y1,y2,..}]  绘出由离散点对(n,yn)组成的图

ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},}}  绘出由离散点对(xrl,yrl)组成的图

ParametricPlot[{fx,fy},{t,tmin,tmax}]  由参数方程在参数变化范围内产生的曲线

ParametricPlot[{fx,fy},{gx,gy},...],{t,tmin,truax}]


二维设置

PlotRange->{0,1}  作图显示的值域范围

AspectRatio->1/GoldenRatio  生成图形的纵横比

PlotLabel->label  标题文字

Axes->{false,True}  分别制定是否画x,y轴

AxesLabel->{xlabel,ylabel}  x,y轴上的说明文字

Ticks->None,Automatic,fun  用什么方式画轴的刻度

AxesOrigin->{x,y}  坐标轴原点位置

AxesStyle->{{xstyle},{ystyle}}  设置轴线的线性颜色等属性

Frame->True,False  是否画边框

FrameLabel->{xmlabel,ymlabel,xplabel,yplabel}  边框四边上的文字

FrameTicks 同Ticks 边框上是否画刻度

GridLines  同Ticks  图上是否画栅格线

Framestyle->{{xmstyle},{ymstyle}}  设置边框线的线性颜色等属性

ListPlot[data,PlotJoined->True]  把离散点按顺序连线

Plotsytle->{{style1},{style2},..}  曲线的线性颜色等属性

PlotPoints->15  曲线取样点，越大越细致


三维绘图

Plot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]  二维函数f[x,y]的空间曲面

Plot3D[{f,s},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]  同上，曲面的染色由s[x,y]值决定

ListPlot3D[array]  二维数据阵array的立体高度图

ListPlot3D[array,shades]  同上，曲面的染色由shades[数据]值决定

ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{t,tmin,tmax}]  三维参数图形

ContourPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]  二维函数f[x,y]在指定区间上的等高线图

ListContourPlot[array]  二维函数fix,yJ在指定区间上的等高线图


三维设置

Contours->n  画n条等高线

Contours->{z1,z2,...}  在zi处画等高线

ContourShading->False  是否用深浅染色

ContourLines->True  是否画等高线

ContourStyle->{{stylel},{style2},..}  等高线线性颜色等属性


密度图

DensityPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax)]  二维函数f[x,y]在指定区间上的密度图

ListDensityPlot[array]  二维函数f[x,y]在指定区间上的密度图


图形显示

Show[graphics,options]  显示一组图形对象，options为选项设置

Show[g1,g2,...]  在一个图上叠加显示一组图形对象

GraphicsArray[{g1,g2,...}]  在一个图上分块显示一组图形对象

SelectionAnimate[notebook,t]  把选中的notebook中的图画循环放映


图元函数

Graphics[prim,options]  prim为下面各种函数组成的表，表示一个二维图形对象

Graphics3D[prim,options]  prim为下面各种函数组成的表，表示一个三维图形对象

SurfaceGraphics[array,shades]  表示一个由array和shade决定的曲面对象

ContourGraphics[array]  表示一个由array决定的等高线图对象

DensityGraphics[array]  表示一个由array决定的密度图对象

Point[p]  p={x,y}或{x,y,2}，在指定位置画点

Line[{p1,p2,..}]  经由Pi点连线

Rectangle[{xmin,ymin),{xmax,ymax}]  画矩形

Cuboid[{xmin,ymin,zmin},{xmaxffmax,zmax}] 由对角线指定的长方体

Polygon[{p1,p2,...}] 封闭多边形

Circle[{x,y},r] 画圆

Circle[{x,y},{rx,ry}] 画椭圆，rx,ry为半长短轴

Circle[{x,y},r,{a1,a2}] 从角度al-a2的圆弧

Disk[{x,y},r] 填充的园、椭圆、圆弧等参数同上

Raster[array,ColorFunction->f] 颜色栅格

Text[expr,coords] 在坐标coords上输出表达式

PostScrip["string"] 直接用Postscript图元语言写

Scaled[{x,y,...}] 返回点的坐标，且均大于0小于1


着色及其他

GrayLevel[level] 灰度level为0~1间的实数

RGBColor[red,green,blue] RGB颜色，均为0~I间的实数

Hue[h,s,b] 亮度，饱和度等，均为0~1间的实数

CMYKColor[cyan,magenta,yellow,block] CMYK颜色

Thicknessr[r] 设置线宽为r

PointSize[d] 设置绘点的大小

Dashing[{r1,r2,...}] 画一个单元的间隔长度的虚线

ImageSize->{x,y} 显示图形大小(单位为像素)

11. 流程控制

If[condition,t,f] 如果condition为True,执行t，否则执行f段

if[condition,t,f,u]
如果condition为Ture，执行t，为False执行f，既非True 又非False，则执行u

Which[test1,blockl,test2,block2,...] 执行第一为True的tesfi对应的blocki

Switch[expr,forml,blockl,form2,block2,...] 重复执行expr imax次

Do[expr,{imax}] 重复执行expr imax次

Do[expr,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax}] 多重循环

While[test,body] 循环执行body直到test为False

For[start,test,incr,body] 循环执行body直到test为False

Throw[value]  停止计算，把value返回给最近一个Catch处理

Throw[value,tag]  停止计算，把value返回给最近一个Catch处理

Catch[expr]  计算expr,遇到Throw返回的值则停止

Catch[expr,form]  当Throw[value,tag]中Tag匹配form时停止

Return[expr]  从函数返回，返回值为expr

Return[] 返回值Null

Breakl[] 结束最近的一重循环

Continuel[] 停止本次循环，进行下一次循环

Goto[tag] 无条件转向Label[Tag]处

Label[tag] 设置一个断点

Check[expr,fmlexpr] 计算expr,如果有出错信息产生，则返回failexpr的值

Check[expr,failexpr,s1::t1,s2::t2,...] 当特定信息产生时则返回failexpr

CheckAbort[expr,failexpr] 当产生abort信息时返回failexpr

Interrupt[] 中断运行

Abort[] 中断运行

TimeConstrained[expr,t] 计算expr，当耗时超过t秒时终止

MemoryConstrained[expr,b] 计算expr，当耗用内存超过b字节时终止运算

Print[exprl,expr2,...] 顺次输出expri的值

Input[] 产生一个输入对话框，返回所输入的任意表达式

Input["prompt"] 同上，prompt为对话框的提示

Pause[n] 运行暂停n秒